Barisan dan Deret Aritmatika

 Barisan dan Deret Aritmatika

Howdy, apa kabar, nih? Kali ini, MinSu bakal bahas mengenai barisan dan deret aritmetika. Topik satu ini seru dan banyak kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari, lho. Langsung aja deh, kita nyemplung ke pembahasannya di bawah ini!

Kamu pernah gak liat lapangan parkir yang sudah diberikan nomor dan sekat? Penulisan nomor di lahan parkir tersebut membentuk sebuah barisan.

Barisan tuh merupakan suatu tuntutan angka atau bilangan dari kiri ke kanan dengan pola serta aturan tertentu. Nah, di lahan parkir itu kamu perhatiin gak barisannya semakin ke kanan, akan semakin besar atau kecil nomornya?

Terus apa perbedaan barisan dan deret? Barisan itu berkaitan erat dengan deret. Barisan merupakan kelompok angka atau bilangan yang berurutan, sedangkan deret merupakan jumlah dari suku-suku pada barisan.

Terus pernah gak sih kamu hitung berapa selisih urutannya pake rumus baris dan deret aritmatika.

Iseng aja sih, tapi tenang aja nanti MinSu kasih pengertian, rumus, contoh serta pembahasan soal barisan dan deret aritmatika, kok! Yuk langsung aja masuk ke pengertiannya.

Pengertian Baris dan Deret Aritmatika

Barisan adalah daftar bilangan yang dituliskan secara berurutan dari kiri ke kanan, di mana ia mempunyai pola atau karakteristik bilangan tertentu. Barisan biasanya disimbolkan dengan Un;

Sedangkan deret adalah penjumlahan dari suku-suku yang ada di dalam suatu barisan tertentu. Deret ini biasanya disimbolkan dengan Sn;

Rumus Baris dan Deret Aritmetika

Bentuk Umum Barisan Aritmetika

 dengan  bilangan asli

Rumus Suku ke-n

atau

Keterangan:

 = suku ke-n

 = a = suku pertama
n = jumlah atau banyaknya suku
b = beda atau selisih

Rumus Beda atau Selisih

Keterangan:

b = beda atau selisih

 = suku ke-n
 = suku sebelum suku ke-n

Rumus Suku Tengah

atau

Jika jumlah atau banyak suku dari suatu barisan aritmetika adalah ganjil, maka rumus untuk mencari suku tengahnya adalah sebagai berikut:

Keterangan:
 = suku tengah
 = suku terakhir
a = suku pertama
n = jumlah atau banyaknya suku

Rumus-Rumus Deret Aritmetika

Bentuk Umum Deret Aritmetika

 dengan  bilangan asli

Rumus Suku ke-n

atau

Keterangan:
 = suku ke-n
 = suku ke-n
 = a = suku pertama
n = jumlah atau banyaknya suku
b = beda atau selisih

Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika

Biar kamu makin pol ngerti, coba cermati beberapa contoh soal cerita barisan aritmatika dalam kehidupan sehari hari dan deret aritmetika di bawah ini, ya!

Contoh Soal 1

Terdapat sebuah barisan bilangan seperti berikut 3, 5, 7, 9, …
Berapakah suku ke-30 dari barisan tersebut?

Pembahasan
Diketahui:
a = 3
b = 
   = 5-3
   = 2
Ditanyakan: U30?
Jawab:

= 3 + (30-1)2
= 3 + (29)2
= 3 + 58
= 61

Jadi, suku ke-30 dari barisan aritmetika tersebut adalah 61.

Contoh Soal 2

Terdapat sebuah barisan aritmetika sebagai berikut: 2, 6, 10, 14, …, 74. Berapa nilai suku tengahnya? Terletak pada suku ke berapa nilai tengah tersebut?

Pembahasan
Diketahui:
a = 2
b = 
   = 6-2
   = 4
 = 74

Ditanyakan:

a). ?

b). t suku tengah?

Jawab:
a). ?

     = 1/2(2+74)
     = 1/2(76)
     = 38

Jadi, nilai suku tengah dari barisan aritmetika tersebut adalah adalah 38.

b). t suku tengah?

74 = 2 + (n-1)4
74 = 2 + 4n-4
74 = 4n – 2
74 +2 = 4n
76 = 4n
76/4 = n
19 = n

Jadi, jumlah atau banyaknya suku ada 18.

t = 1/2(n +1)
t = 1/2(19 +1)
t = 1/2(20)
t = 10.

Maka, suku tengah pada barisan aritmetika tersebut terletak pada suku ke-10.

Contoh Soal 3

Terdapat sebuah barisan aritmetika sebagai berikut 20 + 18 + 16, …
Tentukan berapa jumlah 12 suku pertamanya!

Diketahui:
a = 20
b = 2
Ditanyakan: Sn?
Jawab:

 =  (20 + 20 + (12-1)2))
      = 6 (40 + 24 – 2)
      = 6 (62)
      = 372.

Jadi, jumlah 12 suku pertama dari barisan aritmetika tersebut adalah 372.

Read More

Barisan dan Deret Geometri

 

1. Dalam suatu susunan bilangan yang membentuk deret geometri, diketahui bahwa suku pertamanya 3 serta suku ke sembilan adalah 768. Jadi, berapa suku ke-7 dari deret bilangan tersebut?

Jawaban:

Diketahui a = 3, U9 = 768

Un = a(r^n-1)

768 = 3 (r^9-1)

768 = 3 x r⁸

r⁸ =768/3

r⁸ = 256

r⁸ = 2⁸

r = 2

Maka suku ketujuh adalah U7 = 3 x 2⁶ = 194.

2. Dalam suatu deret membentuk 4 + 2 + 1 + 1/2 + ¼ ….. Hitunglah berapa jumlah barisan geometri dari susunan suku tersebut! 

Jawaban:

Diketahui a = 4 dan r = ½

Ditanyakan: Sn = ?

Sn = a / (1 – r) = 4 / (1 – ½) = 4 / (½) = 4 x 2 = 8

Jadi, jumlah barisan geometri dari susunan bilangan tersebut adalah 8.

3. Apabila diketahui suatu deret angka 5 + 15 + 45 + …

Maka, berapakah jumlah 6 suku pertama dari deret tersebut?

Jawaban:

Diketahui: a = 5, r = 3

Sehingga jumlah enam suku pertama yakni:

Sn = a (rⁿ – 1) / r – 1

S₆ = 5 (3⁶ – 1) / 3 – 1 = 3.640 / 2 = 1.820

Jadi, jumlah dari 6 suku pertama barisan geometri tersebut adalah 1.820.

4.  Jumlah dari 400 + 200 + 100 + 50 + 25 + 12,5 = ...

Jawaban:

a = 400
r = 200 : 400

= 100 : 200

= ½
n = 6

Jadi jumlah dari 500 + 200 + 100 + 50 + 25 + 12,5 = 787,5

5. Deret geometri: 1, 3, 9, 27, 81, …. Hitunglah berapa nilai Sn dalam deret tersebut (n = 3) !

Jawaban: 

S_n = a (rⁿ – 1) / r – 1

S₃ = 1 (3³ – 1) / 3 – 1

S₃ = (1 x 26) / 2

S₃ = 13

Maka, nilai dari Sn untuk n = 3 adalah 13.

Read More

Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Geometri Tak Hingga

 1. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian  5 m

dan memantul kembali dengan $\frac{3}{5}$ kali tinggi sebelumnya. panjang lintasan gerak bola sampai berhenti adalah...

Penyellesaian :

Jumlah seluruh panjang lintasan bola sampai berhenti dapat kita hitung dengan menggunakan konsep deret geometri tak hingga. Berhenti adalah anggapan bahwa bola tidak lagi memantul dengan kata lain tidak ada lagi panjang lintasan tidak bertambah lagi kalau bola sudah berhenti. Meskipun panjang lintasan bola dapat dihitung tetapi banyak pantulan tidak dapat dihitung.

Tinggi bola awal $5m$, memantul kembali dengan ketinggian $\frac{3}{5}$ dari $5m$ yaitu $3m$, 
lalu boal akan turun setinggi $3m$ dan memantul kembali setinggi $\frac{3}{5}$dari $3m$ yaitu $\frac{9}{5}m$, bola turun lagi $\frac{9}{5}m$ dan memantul kembali setinggi $\frac{3}{5}$ dari $\frac{9}{5}$ yaitu $\frac{27}{25}m$, dan 
bola turun lagi $\frac{27}{25}m$ sampai seterusnya dan bola berhenti.

Dari keterangan diatas kita peroleh bahwa tinggi bola pertama kita sebut suku pertam $a=5$ dan $r=\frac{3}{5}$
Panjang lintasan bola adalah 
$\begin{array}{cc}{S}_{\infty }& =\frac{a}{1-r}\\ & =\frac{5}{1-\frac{3}{5}}+\frac{3}{1-\frac{3}{5}}\\ & =\frac{5}{\frac{2}{5}}+\frac{3}{\frac{2}{5}}\\ & =\frac{25}{2}+\frac{15}{2}\\ & =\frac{40}{2}=20\end{array}$
atau bisa kita juga dengan cara panjang lintasan $S_{\infty }=\frac{5}{1-\frac{3}{5}}$ kita kalikan dengan $2$ lalu dikurang $5$, karena lintasan bola yang $5m$ hanya terjadi satu kali.

2. Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 96 dan jumlah semua sukunya yang berindeks ganjil adalah 64, suku ke-4 deret tersebut adalah...

Penyelesaian :

Bentuk umum Deret Geometri dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$adalah 
$a+ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+a{r}^5+a{r}^6+\cdots$

Jika di bagi menjadi dua bagian yaitu deret geometri dengan suku ganjil dan deret geometri dengan suku genap bentuknya menjadi,
Deret Geometri suku ganjil: $a+a{r}^2+a{r}^4+a{r}^6+\cdots$
suku pertama$=a$ dan $r=r^2$,
$S_{\infty }\left(ganjil\right)=\frac{a}{1-r^2}$.

Deret Geometri suku genap: $ar+a{r}^3+a{r}^5+\cdots$
suku pertama$=ar$ dan $r=r^2$,
$S_{\infty }\left(genap\right)=\frac{ar}{1-r^2}$.

Pada soal disampikan bahwa jumlah semua sukunya adalah $96$.
$\begin{array}{cc}{S}_{\infty }& =\frac{a}{1-r}\\ 96& =\frac{a}{1-r}\\ a& =96(1-r)\end{array}$

Pada soal disampaikan bahwa jumlah semua sukunya yang berindeks ganjil adalah $64$.
$\begin{array}{cc}{S}_{\infty }\left(ganjil\right)& =\frac{a}{1-r^2}\\ 64& =\frac{a}{1-r^2}\\ 64& =\left(\frac{a}{1-r}\right)\left(\frac{1}{1+r}\right)\\ 96\left(\frac{1}{1+r}\right)& =64\\ 3\left(\frac{r}{1+r}\right)& =2\\ 3& =2\left(1+r\right)\\ 3r& =2+2r\\ r& =\frac{1}{2}\\ a& =96(1-\frac{1}{2})\\ a& =96\left(\frac{1}{2}\right)\\ a& =48\end{array}$
Suku ke-4 adalah
$\begin{array}{cc}{U}_4& =a{r}^3\\ & =48\cdot {\frac{1}{2}}^3\\ & =48\cdot {\frac{1}{2}}^3\\ & =\frac{48}{8}\\ & =6\end{array}$

3. Diketahui deret geometri tak hingga mempunyai jumlah 12. Jika rasionya adalah 

13, nilai suku pertamanya adalah ...

Jawab
S∞=12
r = 13
a1−13=12
a23=12
a=12×23
a=8

4. Diketahui deret geometri tak hingga dengan jumlah 24. Jika suku pertamanya adalah 8, maka rasionya adalah ...

Jawab
S∞=24
a = 8
81−r=24
8=24−24r
−16=−24r
24r=16
r=1624
r=23

5. Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 96 dan jumlah semua sukunya yang ganjil adalah 64, suku ke-3 deret tersebut adalah...

Jawab
S∞ = 96
S∞ganjil = 64
S∞genap = 96 - 64 = 32
r=S∞genapS∞ganjil

r=3264

r=12

S∞=96
a1−12=96
a12=96
a=96×12
a=48

Un=arn−1
U3=48(12)3−1
U3=48(14)
U3=12

Read More