Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmatikaa

1. Suku ke 10 dari 1, 3, 5, 7, 10,….. adalah

    Penyelesaian:

        Un= a + ( n - 1 ) b

      U10= 1 + ( 10 - 1 ) 2

      U10= 1 + ( 9 ) 2

     U10= 1 + 18

    U10= 19

2. Suku ke 31 dari 30, 45 , 60, …. Adalah.

    Penyelesaian:

    Un= a + ( n - 1 ) b

    U31 = 30 + ( 31 - 1 ) 15

   U31 = 30 + ( 30 ) 15

   U31 = 30 + 450

   U31 = 480

3. Sebuah gedung pertemuan terdapat 25 kursi pada baris pertama, dan setiap baris berikutnya memuat 3 kursi lebih banyak dari baris mukanya. Tentukan banyak kursi dalam gedung tersebut jika terdapat 15 baris kursi.

Penyelesaian:

Berdasarkan dari soal tersebut, deretnya adalah 25 + 28 + 31 + 34 + …

Maka kita akan mendapatkan nilai

U1 = 25, n = 15, b =28 - 25 = 3

Karena suku terakhir belum diketahui, maka gunakan rumus berikut.

Sn = ½ n [2U1 + (n - 1)b]

S15 = ½ x 15 [2 x 25 + (15 -1)3]

S15 = 7,5 (50 + 14 x 3)

S15 = 7,5 (50 + 42)

S15 = 690

Jadi banyak kursi dalam gedung tersebut adalah 690 kursi.

4. . Diketahui barisan aritmatika memiliki rumus suku ke-n Un = 6n + 8. Nilai dari beda adalah…

Penyelesaian: 

Un = 6n + 8 

U1 = 6 . 1 + 8 = 14

U2 = 6 . 2 + 8 = 20

Sehingga:

b = U2 - U1 

b = 20 - 14

b = 6

Jadi nilai beda dari barisan arimatika yang memiliki rumus suku ke-n Un = 6n + 8 adalah 6.

5.  Suatu barisan aritmatika mempunyai suku pertama sama dengan 3 dan beda sama dengan 2. Berapakah suku ke-5 nya?

Penyelesaian:

Diketahui bahwa:

a = 3, n = 5, b = 2

Maka:

Un = a + (n - 1)b

U5 = 3 + (5 - 1)2 = 3 + 8 = 11

Jadi suku ke-5 dari barisan aritmatika dengan suku pertama 3 dan beda 2 adalah 11. 

6. Jumlah kelipatan 3 dan 5 antara 200 dan 400 adalah…

Penyelesaian:

Bilangan kelipatan 3 dan 5 adalah 15.

Kelipatan 15 yang terletak di antara 200 dan 400 adalah 210, 225, 240, … 390.

Sehingga diperoleh barisan dengan suku pertama a = 210 dan b = 225 - 210 = 15

Un = a + (n -1)b

390 - 210 = 5n - 15

180 = 5n - 15

180 + 15 = 5n

195 = 5n

195/5 = n

13 = n

Sn = n/2 (a + Un)

Sn = 13/2 (210 + 390)

Sn = 13/2 x 600

Sn = 3.900

Jadi jumlah kelipatan 3 dan 5 yang terletak di antara 200 dan 400 adalah 3.900

7. Tiga buah bilangan membentuk deret aritmatika. Jumlah ketiga bilangan itu adalah 33 dan hasil kalinya adalah 1.232. Tentukan bilangan yang terkecil!

Jawaban:

(a - b) + a + ( a + b)

(a - b) + a + (a + b) = 33

3a = 33

a = 33/3 = 11

Maka:

(11 - b) x 11 (11 + b) = 1.232

(11- b) (11 + b) = 1.232

121 - b2 = 112

(a - b) (a + b) = a2 - b2

-b2 = 112 - 121

- b2 = -9  >< -b2 = 9

b = +- √9

b = 3 atau b = -3

Untuk a = 11 dan b = 3

Bilangan-bilangannya adalah (11 - 3), 11, (11 + 3) yaitu 8, 11, 14

Untuk a = 11 dan b = -3

Bilangan-bilangannya adalha (11 + 3), 11, (11 -3) yaitu 14, 11 dan 8.

Jadi bilangan terkecil dari deret arimatika tersebut adalah 8. 

8. Suku tengah barisan aritmetika adalah 15. Jika banyaknya suku barisan tersebut 11 dan suku ke-4 bernilai -3, tentukan suku terakhirnya!

Pembahasan:

Diketahui:

U_t = 15

n = 11

Ditanya: U_n =…?

Pembahasan:

Pertama, kalian harus mencari nilai t.

Suku tengah adalah suku ke-6. Artinya, U₆ = 15.

Untuk mencari nilai a dan b, gunakan metode eliminasi.

Substitusikan nilai b ke persamaan (1).

 

Selanjutnya, tentukan suku terakhir barisan tersebut.

 

Jadi, suku terakhirnya adalah 60. 

9. Ayah membagikan sejumlah uang kepada lima orang anak. Anak tertua mendapat bagian terbanyak dan anak termuda mendapat bagian paling sedikit. Jika anak kedua mendapat Rp21.000,00 dan anak termuda mendapat Rp12.000,00, jumlah uang yang dibagikan ayah adalah ….

Penyelesaian:

U2 -> a + b = 21.000

U5 -> a + 4b = 12.000 (-)

-3b = 9.000

b = -3.000

a + b = 21.000

a + (-3.000) = 21.000

a = 24.000

Sn = n/2 [2a + (n – 1) b]

S5 = 5/2 [2(24.000) + (5 – 1) (-3.000)]

S5 = 5/2 [36.000]

S5 = 90.000

10. Jika jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah Sn = 2n²+ 4n, suku ke-20 deret tersebut adalah …

Penyelesaian :

Un = Sn – S(n-1)

U20 = U20 – S19

U20 = [2(20)² + 4(20)] – [2(19)² + 4(19)]

U20 = 82