Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Geometri Tak Hingga

 1. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian  5 m

dan memantul kembali dengan $\frac{3}{5}$ kali tinggi sebelumnya. panjang lintasan gerak bola sampai berhenti adalah...

Penyellesaian :

Jumlah seluruh panjang lintasan bola sampai berhenti dapat kita hitung dengan menggunakan konsep deret geometri tak hingga. Berhenti adalah anggapan bahwa bola tidak lagi memantul dengan kata lain tidak ada lagi panjang lintasan tidak bertambah lagi kalau bola sudah berhenti. Meskipun panjang lintasan bola dapat dihitung tetapi banyak pantulan tidak dapat dihitung.

Tinggi bola awal $5m$, memantul kembali dengan ketinggian $\frac{3}{5}$ dari $5m$ yaitu $3m$, 
lalu boal akan turun setinggi $3m$ dan memantul kembali setinggi $\frac{3}{5}$dari $3m$ yaitu $\frac{9}{5}m$, bola turun lagi $\frac{9}{5}m$ dan memantul kembali setinggi $\frac{3}{5}$ dari $\frac{9}{5}$ yaitu $\frac{27}{25}m$, dan 
bola turun lagi $\frac{27}{25}m$ sampai seterusnya dan bola berhenti.

Dari keterangan diatas kita peroleh bahwa tinggi bola pertama kita sebut suku pertam $a=5$ dan $r=\frac{3}{5}$
Panjang lintasan bola adalah 
$\begin{array}{cc}{S}_{\infty }& =\frac{a}{1-r}\\ & =\frac{5}{1-\frac{3}{5}}+\frac{3}{1-\frac{3}{5}}\\ & =\frac{5}{\frac{2}{5}}+\frac{3}{\frac{2}{5}}\\ & =\frac{25}{2}+\frac{15}{2}\\ & =\frac{40}{2}=20\end{array}$
atau bisa kita juga dengan cara panjang lintasan $S_{\infty }=\frac{5}{1-\frac{3}{5}}$ kita kalikan dengan $2$ lalu dikurang $5$, karena lintasan bola yang $5m$ hanya terjadi satu kali.

2. Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 96 dan jumlah semua sukunya yang berindeks ganjil adalah 64, suku ke-4 deret tersebut adalah...

Penyelesaian :

Bentuk umum Deret Geometri dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$adalah 
$a+ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+a{r}^5+a{r}^6+\cdots$

Jika di bagi menjadi dua bagian yaitu deret geometri dengan suku ganjil dan deret geometri dengan suku genap bentuknya menjadi,
Deret Geometri suku ganjil: $a+a{r}^2+a{r}^4+a{r}^6+\cdots$
suku pertama$=a$ dan $r=r^2$,
$S_{\infty }\left(ganjil\right)=\frac{a}{1-r^2}$.

Deret Geometri suku genap: $ar+a{r}^3+a{r}^5+\cdots$
suku pertama$=ar$ dan $r=r^2$,
$S_{\infty }\left(genap\right)=\frac{ar}{1-r^2}$.

Pada soal disampikan bahwa jumlah semua sukunya adalah $96$.
$\begin{array}{cc}{S}_{\infty }& =\frac{a}{1-r}\\ 96& =\frac{a}{1-r}\\ a& =96(1-r)\end{array}$

Pada soal disampaikan bahwa jumlah semua sukunya yang berindeks ganjil adalah $64$.
$\begin{array}{cc}{S}_{\infty }\left(ganjil\right)& =\frac{a}{1-r^2}\\ 64& =\frac{a}{1-r^2}\\ 64& =\left(\frac{a}{1-r}\right)\left(\frac{1}{1+r}\right)\\ 96\left(\frac{1}{1+r}\right)& =64\\ 3\left(\frac{r}{1+r}\right)& =2\\ 3& =2\left(1+r\right)\\ 3r& =2+2r\\ r& =\frac{1}{2}\\ a& =96(1-\frac{1}{2})\\ a& =96\left(\frac{1}{2}\right)\\ a& =48\end{array}$
Suku ke-4 adalah
$\begin{array}{cc}{U}_4& =a{r}^3\\ & =48\cdot {\frac{1}{2}}^3\\ & =48\cdot {\frac{1}{2}}^3\\ & =\frac{48}{8}\\ & =6\end{array}$

3. Diketahui deret geometri tak hingga mempunyai jumlah 12. Jika rasionya adalah 

13, nilai suku pertamanya adalah ...

Jawab
S∞=12
r = 13
a1−13=12
a23=12
a=12×23
a=8

4. Diketahui deret geometri tak hingga dengan jumlah 24. Jika suku pertamanya adalah 8, maka rasionya adalah ...

Jawab
S∞=24
a = 8
81−r=24
8=24−24r
−16=−24r
24r=16
r=1624
r=23

5. Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 96 dan jumlah semua sukunya yang ganjil adalah 64, suku ke-3 deret tersebut adalah...

Jawab
S∞ = 96
S∞ganjil = 64
S∞genap = 96 - 64 = 32
r=S∞genapS∞ganjil

r=3264

r=12

S∞=96
a1−12=96
a12=96
a=96×12
a=48

Un=arn−1
U3=48(12)3−1
U3=48(14)
U3=12